矩阵在常系数线性递推关系中的应用

本文在前人的研究基础上,对应用矩阵的相关知识与常系数线性递推关系进行研究.首先,归纳出一些矩阵的相关知识.其次,应用矩阵来表示常系数线性递推关系.然后再应用矩阵求解常系数线性递推关系,介绍矩阵方法如何应用.最后,举出简单的递推关系的问题,用一般

  1引言

  1.1研究现状

  递推关系不仅对组合论有重要意义,而且几乎对一切数学分支都有重要意义.求解常系数线性递推关系的最有效的常见的方法是母函数法和特征根法,而本文将用矩阵进行求解,其基本思想为:对于某些递推关系定义的数列,根据矩阵特征值理论,将数列的一般项表为含有对角阵的矩阵乘法形式,在此基础上推出数列的通项公式.杨振生在《组合数学及其算法》[1]中提到常系数线性齐次递推关系以及常系数线性非齐次递推关系的求解,通过对不同形式的递推关系问题采用不同的方法进行求解归纳,以及简单的应用.岳嵘在《利用矩阵对角化求数列通项》[2]中提出利用矩阵求解具有特殊性质的数列的通项公式;尹飞,杨方,赵天玉在《用矩阵对角化求解一类递推关系组》[3]中把递推关系与矩阵相结合,用矩阵对角化来求解一类递推关系组;郑华盛,徐伟在《矩阵对角化的应用》[4]中利用矩阵对角化求解一类具有递推关系式的数列的通项与极限及一类三对角线行列式,这是矩阵在求解递推关系问题中知识的延拓与提升.
  通过文献整理可知,目前矩阵在常系数线性递推关系中的应用只是简单的利用矩阵对角化解决常系数线性递推关系问题.对矩阵方法在常系数线性递推关系中的应用没有具体说明该怎么用,为什么要这么用或是为什么要用矩阵方法来解决,只是草草地给出定义以及引理,并没有深入去研究应用矩阵解决常系数线性递推关系问题可以带来怎么样的方便,只是简单地说明了应用矩阵解递推关系问题的方便之处在于将常系数线性递推关系问题简单化、统一化,降低了思维难度.

  1.2研究意义

  矩阵在求解一类具有递推关系式中占有非常重要的作用,通过矩阵的对角化将数列的一般项表示为含有对角阵的矩阵乘法形式,运用矩阵相关知识,并且结合数学思想与方法,并与高等数学中的基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,提高学生的学习兴趣.矩阵在常系数线性递推关系中的相关研究是符合当代大学生的一项研究.研究的目的在于通过一系列研究得出矩阵对角化解法在某类递推关系中是具体优势的,让学生能够在解题中明白知识是环环相扣的.

  1.3研究思路及研究方法

  本文研究的基本思路:首先收集资料进行综合分析,归纳整理,了解当前研究的背景及其现状.基于目前研究矩阵的现状,提出研究的意义.然后,对矩阵的相关知识进行分析.将矩阵知识与常系数线性递推关系进行结合,应用矩阵表示常系数线性递推关系;用满足矩阵可对角化的条件,证明常系数线性递推关系.由矩阵知识用到某些复杂的递推关系问题上,综合比较常规的解题方法总结出各自的优缺点以及适用情况.在掌握了矩阵方法解决常系数线性递推关系问题的一般步骤后,对矩阵方法应用于常系数线性递推关系进行进一步研究,分析得出用矩阵方法解题所适合的情况及其优劣之处.基于对文献资料的分析上,归纳出应用矩阵在求解常系数线性递推关系的技巧与方法.最后,对文章进行总结.
  本研究首先采用文献研究法,根据所研究的论文题目,通过查阅相关文献,从而能够正确的了解掌握所要研究的问题.在研究矩阵在常系数线性递推关系中的研究现状上运用文献研究法,能形成关于研究对象的印象.然后采用比较研究法,通过纵横比较,对矩阵方法与常规方法进行利弊分析,最后总结矩阵方法是否实用.

  2矩阵相关知识

矩阵在常系数线性递推关系中的应用

矩阵在常系数线性递推关系中的应用
  易求得矩阵的特征根和对应的一个特征向量分别为
  因为该矩阵的特征方程有相同的特征根并且特征向量线性相关,因此无法求出对角化矩阵,无法应用矩阵方法求解.
  小结:母函数方法能够有效求解递推关系,但是需要构造新的数列,操作比较复杂,特征根法求解便捷,但是如果在遇到有重根的问题时会对求解递推关系带来不便.而矩阵方法则可避免重新构造数列,但是类似上题,通过变形求解得出两个特征向量线性相关,无法求出对角化矩阵,因此应用矩阵方法求解递推关系具有一定的局限性.

  3结论

  矩阵的对角化将数列的一般项表示为含有对角阵的矩阵乘法形式,避免了类似母函数一样需要构造新的数列,解决问题时较为方便快捷,至于特征根法,对于有重根的特征方程求解不方便,我们利用矩阵方法时,列出矩阵,求出矩阵可对角化,再得出可逆矩阵,进而求出幂矩阵,最终求解出递推关系式.
  本文在研究中也存在很多不足之处:对于某些方阵不可对角化时,矩阵方法存在很大的局限性;对于阶数较大的方阵不便于求解.并且由于研究水平能力有限等原因,因此,本文对矩阵方法应用于常系数线性递推关系中只是初步的研究,实践中还有需进一步验证和总结.

  【参考文献】

  [1]杨振生.组合数学及其算法[M].合肥:中国科学科技大学出版社,1997.110-124.
  [2]岳嵘.利用矩阵对角化求数列通项[J].高等数学研究,2007,10(4):66-68.
  [3]尹飞,杨方,赵天玉.用矩阵对角化求解一类递推关系组[J].科学与财富,2010(1):37-38.
  [4]郑华盛,徐伟.矩阵对角化方法的应用[J].高等数学研究,2008,11(3):58-64.
  [5]赵树嫄.线性代数[M].北京:中国人民大学出版社,2017.45-50.
  [6]徐爱华.线性代数[M].上海:同济大学出版社,2015.102-104.
  [7]龚丽燕,陈益智,蔡俊树.递推数列通项的矩阵解法[J].高等数学研究,2014(5):3-6.
  [8]郑长波.利用矩阵特征值理论求解递推关系[J].沈阳师范大学学报(自然科学版),2011,29(3):347-351.
  Application of Matrix in Linear Recursive relation with constant coefficients
  [Abstract]On the basis of previous studies,this paper studies the relationship between the relative knowledge of applied matrices and linear recursion of constant coefficients.Firstly,some related knowledge of matrices is summarized.The matrix is used to express the linear recursion relation of constant coefficient,then the matrix is used to solve the linear recursive relation of constant coefficient,and how to apply the matrix method is introduced.Finally,the problem of simple recursive relation is given.The general method and matrix method are used to solve these problems,and the advantages and disadvantages of these methods in solving practical problems are compared,and some suggestions are put forward.To solve the problem of matrix diagonalization and eigenvalue theory Class recursive relation group,and give the general solution.
  [Key words]Keywords addition of matrix;diagonalization;application matrix;recursive relation
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