一类具有脉冲效应的时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析

在实际系统中,时滞和脉冲现象总是同时存在,影响着实际系统的正常运转,且系统不确定性也是广泛存在于实际系统问题中。分析该类脉冲时滞不确定系统的稳定性往往是很难建立精确的数学模型,实际系统中这类问题更加复杂。所以这类问题成为一直被广泛关注并研究

  1.绪论

  1.1脉冲时滞不确定系统

  近代以来,人们已经在动力系统方面的理论研究中取得了很大的研究成果,并且将其研究成果运用到解决生活中的实际问题中,但是仍然存在着一些非常棘手的问题,例如在工程领域的诸多运动过程中,它的运动状态在某一时间点会由于受到外界扰乱而发生瞬间变化的突变现象,突变发生时间与整个运动发生时间相比是非常短暂,甚至可以说是瞬间发生的,我们将这类现象称之为脉冲。将具有脉冲特点的现象称为脉冲效应。
  在实际工程系统中,时滞现象也是广泛存在于自然界和人类社会。时滞即是时间滞后,是指从输入信息到输出信息之间存在时间延迟的现象。然而产生时滞现象的原因有很多,信息传输需要时间等原因。
  实际生活中,一些工程问题会由于时滞现象对系统稳定性产生的影响微小而被我们选择忽略,与之相反的是,如果存在短暂的时滞现象会对实际工程的稳定性产生比较大的影响的时候,那这些时滞现象是我们不能够将其忽略的。从研究方面来看,无论是理论问题还是实际工程问题在处理系统的控制上,时滞的存在都是一个很难攻克的难题,那是因为时滞现象的存在会影响系统的性能,使之遭到破环而失去稳定性能,也正因为如此,从问题提出之初对时滞现象的研究一直以来是研究的热点话题。
  在实际工程问题中,其实是既存在时滞现象又存在脉冲现象,两者总是同时存在。并且这个系统稳定不确定性也是广泛存在于实际问题中,其中不确定的来源也是多方面的,比如在系统运行过程中设备老化,以及其他外界干扰,等等环境因素。这种就叫脉冲时滞不确定系统。

  1.2鲁棒控制理论

  在分析系统的过程中,可以这么说,不存在一个系统可以使用精确的数学模型来模拟,这是因为对于某些系统个体特性没有一个很好的了解,如外部环境的变化,设备的元件的老化,以及一些物理参数随时间的不确定变化等情况的产生。自从20世纪70年代后期人们开始认识到鲁棒性是控制和分析的一个重要的指标,自此开始了对鲁棒稳定性的深入探索,并且在这个时期的研究,主要是聚集在控制系统方面的鲁棒性能以及鲁棒控制器的探索。由于精确的模型是不可能存在的,所以我们必须分析其不确定性,促使了解决这类关于鲁棒控制的理论的诞生。控制的最终目的是
  在我们不能够使数学模型达到精确,以及有许多不能预测的未知变化的情况下,还是能够使系统保持预期的状况下。如果存在数学模型的不确定因素的改变和模型表达不精确的情况下不会改变原本预期的稳定性以及各种不同的动态性能,这样描述的系统图被我们称作鲁棒控制系统。
  我们都应该知道的是,稳定性对系统运行是至关重要的一个判断标准。但是由于脉冲现象的存在,会使得系统方程是分段的,因此脉冲时滞系统的稳定性问题的分析变得更加棘手。在实际系统控制中,被控对象是很难去刻画精确的数学模型,就算是到准确的数学模型,也同样存在尤其繁复的问题,然而控制器设计就需要对它进行简单化,会随着生产的过程,以及工作条件和外部环境的不确定,关于被控对象的特性会跟着发生相应的变化。上述所有这些因素但是促使数学模型和现实产生无法缩短的差距的原因。
  通过对脉冲时滞不确定系统的稳定性研究分析,我们首先构造一个自定义的李亚普诺夫函数,并且达到系统鲁棒指数稳定的充分条件。来进一步证明系统的稳定性,最后用数值例子来验证方法的正确性。
  在系统具有一些特性的情况下,还能对系统所有成员中不确定项的成员也成立。我们将这种叫做鲁棒性。系统的稳定性是我们必须关注且十分重视的,这样我们又可以将我们重视稳定性称作具有鲁棒稳定性。

  1.3 Lyapunov稳定性

  在1892年的时候,有一名俄国学者发表一篇关于稳定性理论的文章,自此人类开始了新的研究理论篇章。提出的稳定性理论是比较一般性的理论,使用状态向量进行描述运动,适用于各种形式,可以是单变量、线性、定常系统,并且可以是时变系统等各种情况。在分析一些特指的系统稳定性的时候,这个理论可以十分有效,帮助解决很多其他理论不能解决的棘手问题。这个概念通常需要建立在稳定性理论上。给出了两种方法来判断稳定。第一种是将线性系统微分方程建立稳定性,可以称作第一法或者间接法。第二种是自定义一个函数,被称为第二法或者直接法。但是第二种方法实施起来并非是件容易的事。而使用第一种方法会简单一点,得到了认可,并广泛传播,运用在控制理论的很多分支。并且得到不断的应用和发展。
  这篇文章应用李亚普诺夫第二法对所需要研究的方面采用讨论,但是又由于第二种方法是不需要求解系统微分方程,所以这样给稳定性带来了极大的简便。

  1.4常用符号说明

  表1符号说明表
  符号说明
  n维Euclid空间
  欧几里德范数
  矩阵的最小特征值
  矩阵的最大特征值
  时滞常数
  关于t的导数
  脉冲扰动矩阵
  时变未知矩阵

  1.5脉冲系统稳定性定义

  (1.1)
  定义[4]P78若系统(1.1)对于任意的都存在一个解,且在时刻与曲面相交,其中,当时,。那么系统(1.1)的解是
  (1)稳定的,如果对,存在使得对,当时,有,其中是系统(1.1)的在上的一个解;
  (2)一致稳定的,如果(1)中的不依赖:
  (3)吸引的,如果每一个,存在使得当时,有,其中且;
  (4)一致吸引的,如果(3)中的和不依赖于;
  (5)是渐进稳定的,当(1)和(3)同时成立满足;
  (6)是一致渐进稳定,如果(2)和(3)同时成立满足。

  1.6相关定理及引理

  设系统方程为[3]P45
  (1.2)
  式子中变量为和,表示维状态向量,表示时间变量。为线性或者非线性,定常或者时变的维函数。
  可以通过Lyapunov函数得到判定定理
  定理1.1[5]P56对连续时间非线性时变自治系统(1.2),如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数,,且对整个状态空间X中所有的非零状态点满足如下条件:
  (1)为正定;
  (2)为负定;
  (3),有;
  定理1.2[5]P56对连续时间非线性时变自治系统(1.2),如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数),,且对整个状态空间X中所有的非零状态点x满足如下条件:
  (1)为正定;
  (2)为负半定;
  (3)对任意非零,不恒为零;
  (4),有
  则系统的原点平衡状态x=0是大范围渐进稳定的。
  李亚普诺夫直接法里面的条件都是充分条件,当我们在详细分析时侯,首先我们应该自定义一个李亚普诺夫函数,随后我们需要求出函数的导数,将其状态方程代入其中,最后的最后可以根据我们求出的函数导数的定号性去判别稳定性。
  引理1.3[6]P89对给定的矩阵,其中是维的以下三个条件是等价的:
  (1);
  (2)<0,
  (3)
  引理1.4[7]P89若P为n阶正定矩阵,Q为n阶对称矩阵,则对任意的有
  证明因为P正定,故存在满秩矩阵,使得。令,则
  因为
  所以矩阵与相似,故它们有相同的特征值。于是
  类似的有,故引理成立。证毕
  引理1.5[7]P34设为给定的矩阵,为任意的正定对称矩阵,则对任意的,有下列不等式成立
  引理1.6[7]P26对任意满足适当维数矩阵F,有
  对任意向量和常数成立,其中D和E是具有适当维度的常数矩阵
  引理1.7[7]P67设为具有适当维数的矩阵,且,则对于任意的实数
  有以下不等式成立
  引理1.8[7]P67设为具有适当维数的矩阵,且,则对于任意满足
  正定对称矩阵S和实数有下列不等式成立

  2.问题的阐述

  2.1问题的描述

  考虑以下的线性脉冲时滞系统[8]P8
  (2.1)
  为状态向量。是有适当维数的实常数矩阵,
  是脉冲扰动矩阵,为时滞,是脉冲时刻,满足。不确定函数的适应维度,它代表了不确定性关于数学模型,现在我们所考虑的是范数有界,如下:
  其中是适当维数的已知参数矩阵,它们反应了不确定性的结构信息。是时变未知矩阵,且满足
  假设以下条件是成立的。
  假设2.1[12]P7函数是连续的,除了在时刻,当时,和都存在,且系统(2.1)的解在是分段连续的,且仅在时刻时,有间断点,且是右连续的。
  定义2.1[12]P66函数称为(1.2)满足初始条件在上的解,如果满足:
  (1)在上连续:
  (2)=;
  (3)在上满足上一个条件(2);
  (4)在处的左右极限均存在且是右连续的,满足式(4).
  定义2.2[12]P66为给定函数,其沿系统(1.1)的解的右上导数定为
  。
  设为给定的泛函,其沿系统(1.2)的解的右上导数定义为
  。
  定义2.3[12]P68设为常数,为系统(1.2)过的解,若对任意,存在,当时,,就将系统(2.1)的解称之为是指数渐进稳定。
一类具有脉冲效应的时滞不确定系统的鲁棒稳定性分析

  2.2主要结果

  先考虑如下无不确定项的脉冲时滞系统[7]P26
  (2.2)
  式中有关矩阵及变量等的定义与系统(2.1)相同。
  定理2.1[8]P36设脉冲扰动矩阵满足
  ,
  如果存在对称正定矩阵使得下列线性矩阵不等式
  (2.3)
  成立,则系统(2.2)是鲁棒指数稳定的。
  证明取Lyapunov函数
  (2.4)
  其中P>0,Q>0待定,当时,v(t)沿系统(2.2)的解对t求导有
  (2.5)
  将式(2.2)代入得
  (2.6)
  由引理1.5得
  (2.7)
  将式(2.7)代入(2.6)并由Schur补定理得
  时
  假设
  那么
  于是,可得
  而
  由引理1.4得
  所以
  其中
  由定义2.3知系统(2.2)是鲁棒指数稳定的。
  定理2.2[9]P37设脉冲扰动矩阵,满足
  ,
  如果存在对称正定矩阵,使得下列线性矩阵不等式
  (2.8)
  成立,那么系统(2.1)是鲁棒指数稳定的,其中,
  证明,取Lyapunov函数
  其中P>0,Q>0待定,当时,沿系统(2.1)的解对t求导有
  (2.9)
  将(2.1)代入(2.9)
  (2.10)
  由引理1.5和1.8得
  (2.11)
  由引理1.7得
  (2.12)
  将式(2.11)(2.12)代入(2.10)并由Schur补引理得
  当时证明过程与定理1类似,可得系统(2.1)是鲁棒指数稳定的,不再叙述。由上述定理我们可以看到脉冲对系统稳定性的影响

  3.数值例子

  (3.1)
  令
  代入(2.3),运用matlab中的LMI求解
  代入式
  且存在对称正定矩阵,有
  验证可得满足所给条件,根据定理2.1可知系统(2.13)是鲁棒指数稳定的
  例3.2考虑系统
  系统有关矩阵为;
  ,,
  (3.2)
  代入式(2.8),运用matlab中的LMI求解可得
  代入式
  且存在对称正定矩阵,有线性矩阵不等式
  其中
  验证满足所给的条件,根据定理2.2可知系统(2.14)是鲁棒指数稳定的

  结论

  脉冲系统和时滞系统已经有很长一段的研究历史,并且研究越来越成熟。实际上,时间滞后的现象和脉冲现象是分布广泛的现象,这就造成关于这个方面的研究的生命力在不断增强。
  (1)本文是从数值计算角度探讨了一类具有脉冲效应和时滞不确定的系统鲁棒稳定性的分析。基于李亚普诺夫稳定性理论,其中运用Riccati方程以及线性矩阵不等式技术,其次我们得到了脉冲时滞系统的鲁棒指数稳定的充分条件,最后我们使用Matlab仿真软件算出给出的具体实例,这说明其结果的正确性和有效性。
  (2)脉冲效应对网络的稳定有着巨大的影响。

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