贝努力大数定律- 狄美孚中心极限定理

本文主要介绍并分析日常生活中常用于保险业风险评估的贝努力大数定律和狄美孚中心极限定理.以介绍身边的大数法则和中心极限定理的应用为出发点,概述这两个定理及它们在概率论与数理统计中的历史作用和意义,列举它们可解决的保险业评估问题,系统性地对这两个理

  1.引言

  我们都知道概率理论的形成是统计学的基础,用概率语言来描述统计推断的不确定程度是现代统计学的标志之一.当大量重复实验时所得的最终结果都会比较稳定,比如投掷硬币的试验时,最后出现的实验结果是正面或反面向上的次数接近一半,现实生活中还有很多类似的例子,像掷骰子、著名的泊松抛针实验等,研究随机现象统计规律稳定性的一些数学家便大量地涌现了出来,贝努力在1713年提出了概率论历史上的第一个极限定理——“大数定律”.这使得概率得以急速的发展并促使其领域范围有了极大的丰富.
  1733年,狄美孚经过推理、证明出正态分布是二项分布的极限,让分布在极限定理方面迈出了根本性的一步,后来拉普拉斯证明了其他任何分布的极限都是正态分布的.20世纪,拉普拉斯和李雅普诺夫在自己的想法基础上,得出了对中心极限定理的发展有着重要意义的特征函数法——将大数定律的研究延伸到函数层面.到二三十年代,林德伯格条件和费勒条件的发表使得概率得以急速的发展并促使其领域范围有了极大的丰富——概率的研究领域从赌博扩展到经济社会方面[3].
  在现实生活中,我们需要使用大数定律时,考虑一个变量是太困难或不可能计算的总和时,需要用到一个在概率论和数学领域有着相当重要作用的思想——用部分代表整体.即对我们的统计样本量总体而言,考查某个样本数据的特征,这个样本数据的结果我们可以看作是总体的结果[6].
  本文就概率论与数理统计过程中重要的结论和理论中的贝努力大数定律与狄美孚中心极限定理进行简要的叙述说明,并系统性的对这两个理论分别从其二项分布的正态近似的重要的性质进行一个相对全面认识.

  2.贝努力大数定律

  2.1大数定律的形成

  大数定律又称“大数法则”或“平均法则”,是人们在长期的实践中发现的在随机现象的大量重复中往往出现的几乎必然的规律.大数法则是如何形成的呢?下面我们以排队和交通规则的形成为例来说明.
  案例一:排队中的大数法则
  众所周知,我们学生就餐的主要地点是学生餐饮文化中心.作为学生的我们在食堂就餐时,高峰期经常会形成各种队伍,然而形成这些队伍的因素往往是偶然的.但是有时候出于各种原因不想排队时,往往就会想着走捷径——插队或者重新排一个队.
  曾经有一次参加普通话等级考试,由于人数较多,排队的人由最开始规定的一对到两队再到三四队,最终一片狼藉,谁也不知道到底哪个队伍是最先开始的.监考老师来了大家都说自己的队伍是最早开始排的,用“公说公有理,婆说婆有理”来形容最合适不过,最后不但没有争出个高低,反而闹得大家心情都不愉快,监考老师只能组织重新排队.这次再也没有开始的那种情况了,大家都非常自觉,有插队或者重新排队的还会自发阻止.
  以上案例说明插队或者重新排个队实施起来也是有条件的.如果最开始加入某个队伍的人数达到一定的数量,这时若要形成一条新队伍来代替原队伍,就会遭到多数人的抵制,特别是原先队伍中的成员.其根本原因是建立的队伍本身就会导出一套排队的规则,会通过那些履行‘管理者职能’职责的排队者的指示,从而使得其他人明白并遵守该排队规则.这时大多数插队或者想另辟蹊径的人抱着少数服从多数的心理去选择跟从,随着人数越来越多,队伍的稳定性就会变得越来越强.反之,如果破坏规则的人数越来越多并不断保持增长时,原本的大数法则就成多数法则了,也可以说是新的大数法则取代了原来的大数法则.
  案例二:交通规则的形成
  “行走应走人行道,没有行道往右靠,天桥地道横行道,横穿马路离不了”,靠右走仿佛是一种不需要刻意提醒就会遵守的约定.虽然,这种约定现在看来是以法律的形式确立的,追溯历史,我们就会发现其本质就是给予被大多数人认可的社会规范一个正式的地位.
  这种规范最初的形成原因是为了避免相撞.如果沿着一条马路向相反方向行走的人都朝着一个方向走,大家你挤我、我挤你,这时候想到达目的地真不容易,此时若形成两股朝着相反方向移动的人流,这个问题就迎刃而解了.但是通道通向的方向是偶然的,其它想通行的人只能听从大多数人.
  曾经有个老师跟我们讲述她在英国求学的经历,她说在英国大家都是靠左行驶的.刚开始有点疑惑跟为什么跟我从小所接触所理解的不一样,后来明白这其实是历史发展的任意性体现,每个国家来说作用都是一样的,只要保证有足够的人数遵从就行.
  在交通中,向左还是向右从本质上来说是与道德无关的,但形成为某一方向的大数法则后,与它相反的行为就成了不道德的行为,道德的评价与人数的多寡在这里起了决定性的作用.因此,一部分违反交通规则的行为之所以不道德,是因为行为者在人数上的少,而不是源于动机上的恶.
  虽然通常最常见的称呼是大数“定律”,但是大数定律并不是经验规律,而是严格证明了的定理.接下来我们要重点描述的贝努利大数定律就是历史上第一条用数学形式来描述频率稳定性的定理.

  2.2贝努力大数定律的基本内容

  设事件A发生的次数μn为n重伯努利试验,且每次试验中A出现的概率为P.则对任意的ε>0,有
  ,
  或贝努力大数定律- 狄美孚中心极限定理
 
  也就是说,当试验次数足够多时,事件发生的频率与该事件发生的概率无穷接近.
  证明:引入任意一组变量,令
  显然,
  因为是相互独立的,且Xk服从以p为参数的(0-1)分布,
  所以,.
  根据切比雪夫不等式,有
  ,
  即
  .
  2.3贝努力大数定律的应用
  某年中有20000个同龄人在某保险公司参保,同年中这些人的死亡率为0.2%,参保人每年交保险费1000元,死亡时保险公司赔偿10000元的抚恤.试判断该保险公司的盈利情况.
  解:受保人发生意外事故的人数x服从二项分布[8].则20000人中有s个人发生意外事故的概率为:
  .
  根据期望的计算方法,保险公司对每个被保人的期望损失为:
  ,
  保险公司损失的总期望是20000×10000×0.002.
  方差为:
  .
  由此可看出,当赔偿金额越大时,方差越大,风险越大[8].若要保险公司盈利,应使保费的总收入大于期望的总损失,要使保险公司盈利超过c元,应使:
  ,
  即期望损失:
  .
  于是要求赔偿金:
  ,
  或投保人发生意外的人数:
  .
  可能性是:
  .

  3.狄美孚中心极限定理

  3.1中心极限定理的概述

  中心极限定理是由美国数学家波利亚为它命名的,主要讨论在概率论中随机变量序列分布与它的和的分布——正态分布渐近的一类定理.早期的中心极限定理证明并得出二项分布的极限是正态分布的结论.长期以来,中心极限定理的理论成果逐渐圆满起来.而在极限定理的研究过程中所形成的概率论分析方法,刺激着概率论的发展,亦推动着新的问题在实践中产生.
  虽然在理论上中心极限定理的成立条件是只有样本总体数量时,相互独立的随机变量和的极限分布才可以近似的看作是正态分布,但在解决实际问题时,取决于具体情况,只要处理问题者认为充分大时,就可以用中心极限定理作近似计算.
  通过中心极限定理,可以认为正态分布是各种分布的首席官.只要是相互独立的随机变量序列,不论服从什么分布,都是以正态分布为极限的,这种独立和现象是十分常见的.例如,在研究一个车间的诸多机床耗电量时,车间的耗电量是一个独立和的问题.因为整个车间的耗电量等于各台机床耗电量的总和,而每台机床的工作状态及耗电量都是相互独立的.因此,只要保证机床的台数足够多,就可以用中心极限定理来估计这个车间的耗电量.又如一个变压器分出来的家用电表数等都可以表示成独立和的问题.综上,独立和的问题的常见性使得其它分布最终回归于正态分布.
  中心极限定理还刻画了正态分布的形成机制.实际中样本总是受到许多随机因素的影响,这种影响总的后果是每个因素的迭加,若其中没有一个因素是起主导作用,则这个变量就是一个近似地服从正态分布的随机变量.这种机制在经济问题中也是常见的.我们定量分析问题时,规定除了主要因素的影响外,其它各因素的影响可以用一个服从正态分布的随机变量来表示.利用中心极限定理不但可以解决很多实际问题,而且对数理统计中的参数(区间)估计、假设检验、抽样调查等都有着重要作用.
  下面我们要重点描述的狄美孚中心极限定理就是中心极限定理中最经典的一个定理,亦是我们日常生产生活中多多少少都会接触的一个定理.

  3.2狄美孚中心极限定理的内容

  设n重贝努里试验中事件A发生的次数是,概率是p,则对,有
  证明:分解Tn成n个相互独立并且服从同一分布的随机变量的和,即有:
  ,
  其中,Sn的分布律为:
  ,
  所以:
  .
  由林德伯格中心极限定理得:

  3.3在保险业中的应用

  已知同年中有m个同龄人在某保险公司参保,这些人的死亡率为p,参保的人每年交保费a元,死亡时家属可以从保险公司领取b元的抚恤.试判断该保险公司的盈利状况.
  解:设x为一年中投保老人的死亡数,则,其中
  由狄美孚—拉普拉斯定理知,保险公司的亏本率为
  .
  若,.求该年内在该保险公司的参保人员的死亡率与之差小于1%的概率.
  由狄美孚—拉普拉斯中心极限定理,对于二项分布,可用正态分布近似代替
  于是所求概率为
  .
  根据2.2可知,保险公司的亏本率很低.

  4.贝努力大数定律与狄美孚中心极限定理的对比分析

  贝努力大数定律和狄美孚中心极限定理是概率论中具有里程碑意义的两个定理[7],也是近代保险业赖以建立的数理基础,如同一条纽带连接着概率论与数理统计.中心极限定理正是基于大数定律的基础上而发展出来的定理[4],它比大数定律论述要更为详细具体.
  贝努力大数定律的基础是大量观察,所阐明的是大量随机现象平均结果的稳定性,为概率理论应用于统计学搭起了桥梁.狄美孚中心极限定理是基于大数定律的基础上而发展出来的,论述的是其他分布和正态分布之间的某种内在关系[6],为数理统计在统计学中的应用铺平了道路.当在样本量足够大的情况下使用时,前者表明总体平均值可以近似由样本的平均值代替;后者表明未知总体的分布特征值可以近似由样本的分布特征值代替,即都近似服从正态分布.
  贝努力大数定律表明统计方法的基础是数理统计,表达频率的稳定性时用了严格的数学形式,即样本个体数量越多,实际的结果会越接近从样本中得出的预期的可能结果.狄美孚中心极限定理在推断现代统计学方法论中处于主导地位,它表示统计学中处理问题的方法都可参考于数理统计,即样本单位足够多,就可以用正态变量来解决独立同分布的随机变量标准化问题,间接地开辟了统计学的方法领域[5].
  在应用上,狄美孚中心极限定理与贝努力大数定律都是概率在经济学应用中的重要理论,都体现在风险评估运算,大数据处理等上.前者在实际应用中计算结果一般是精确的,后者所得结果为近似数值,往往更精准.总体来说,二者在概率发展中都扮演着举足轻重的作用,但在具体的应用中又使用不同的模型.
  上述分析表明,贝努力大数定律与狄美孚中心极限定理各有特点,但又具有内在相通性.

  参考文献

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  [11]杜伟娟,于文娟.中心极限定理及其初步应用[J].内蒙古电大学刊,2007,95(7):107-108.
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